Berechnungsschema von Speichern

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Bereichsweise linearisierte Entnahmefunktion

Die Simulation von Speichern erfolgt mit einem neuentwickelten Baustein zur Berechnung von Speichern, deren Prozessfunktionen bereichsweise linear abzubilden sind. Der Baustein ist eine Weiterentwicklung des Ansatzes von Ostrowski (1992) und wird detailliert bei Mehler (2000) beschrieben. Er ermöglicht die simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung für mehrere Prozesse ohne aufwendige Iterationen und wird nachfolgend kurz erläutert.

Für einen Speicher, dessen Inhalt von mehreren Zu- bzw. Ablaufprozessen abhängig ist, kann die Kontinuitätsgleichung wie folgt dargestellt werden:

[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}S(t)}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{zu,j}(t) - \sum_{i=1}^n Q_{ab,i}(t) }[/math]

mit:

S(t) = Speicherinhalt des Speichers

Qzu,j(t) = Zulaufprozess

Qab,i(t) = Ablaufprozess

m = Anzahl der Zulaufprozesse

n = Anzahl der Ablaufprozesse

Die Entnahmeterme sind in der Regel nichtlineare Funktionen des Speicherinhaltes (z.B. die Entnahme aus dem Bodenspeicher mit den Prozessfunktionen) Diese Funktionen werden bereichsweise linearisiert.

[math]\displaystyle{ y(t) = A \cdot \left ( \frac{y_{i+1}-y_i}{S_{i+1}-S_i} \cdot (S(t)-S_i) + y_i \right ) }[/math]

mit:

[math]\displaystyle{ A = A_1 \cdot A_l \cdot A_{l+1} \cdot \ldots \cdot A_{p-1} \cdot A_p }[/math]

y(t) = Entnahme aus dem Speicher

S(t) = Speicherinhalt

yi = Größe der Entnahme an der Stützstelle i

Si = Speicherinhalt an der Stützstelle i

A = Multiplikator der Prozessgröße als Produkt aller weiteren Abhängigkeiten

p = Anzahl weiterer Abhängigkeiten

Für jede Entnahmefunktion kann nach Lineariserung eine Geradengleichung aufgestellt werden, die nur noch vom Speicherinhalt abhängig ist. Die Steigung "m" der Geraden ändert sich von Stützstelle zu Stützstelle. Somit gibt es für jede vom Speicherinhalt abhängige Funktion einen bereichsweise linearisierten Verlauf entlang der Speicherfüllung. Die Funktion selbst kann mit einem für jeden Zeitschritt konstanten Faktor (A) skaliert werden, der alle weiteren Abhängigkeiten als Produkt zusammenfasst.

Die Kontinuitätsgleichung kann nun umformuliert werden zu:

[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \sum_{k=1}^m m_{k,i} \cdot (S(t)-S_i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot (S(t)-S_i) }[/math]

mit:

[math]\displaystyle{ \mbox{C}_2 = \sum_{k=1}^m m_{k,i} }[/math]

Nach Ausmultiplizieren der Klammer wird die Kontinuitätsgleichung zu:

[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} + \mbox{C}_2 \cdot S(t) = \mbox{C}_1 }[/math]

mit:

[math]\displaystyle{ \mbox{C}_1 = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot S_i }[/math]

Diese Gleichung ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung und besitzt folgende Lösung:

[math]\displaystyle{ S(t) = \frac{\mbox{C}_2}{\mbox{C}_1} \cdot (1-e^{-C_1 \cdot t}) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} }[/math]

mit:

[math]\displaystyle{ S_0 = S(t=0) }[/math]

Damit steht die Speicherfüllung zu jedem Zeitpunkt fest. Tritt innerhalb eines Zeitintervalls eine Bereichsüberschreitung ein, sind die Größen C1 und C2 mit den jeweils aktuellen Steigungen und Achsenabschnittswerten der bereichsweise linearisierten Funktionen neu zu berechnen. Die simultane Berechnung der Abgabenfunktionen wird durch Einsetzen der Speicherinhaltsgleichung in die jeweilige Geradengleichung erreicht. Allgemein ausgedrückt gilt für die mittlere Intensität aller Abgaben:

[math]\displaystyle{ \bar{y} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t=0}^{\Delta t} A \cdot \left [ y_i \cdot S_i + m_i \cdot \left ( \frac{C_2}{C_1} \cdot ( 1 - e^{-C_1 \cdot t} ) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} \right ) \right ] }[/math]

[math]\displaystyle{ \bar{y} = y_i + m_i \cdot \left [ -S_i + \frac{C_2}{C_1} + (1-e^{-C_1 \cdot \Delta t}) \cdot \left ( \frac{S_0}{\Delta t \cdot C_1} - \frac{C_2}{\Delta t \cdot C_1^2} \right ) \right ] }[/math]

Mit diesem Berechnungsschema können alle Speicher, deren Prozesse bereichsweise linear zu beschreiben sind, berechnet werden. In Talsim-NG werden mit diesem Baustein die Bodenprozesse, die Speicher sowie die Transportstrecken berechnet.